Paradoxa de Russell

La paradoxa de Russell descrita per Bertrand Russell el 1901 demostra que la teoria originària de conjunts formulada per Cantor i Frege és contradictòria.^[1]

Suposem un conjunt que consta de conceptes que no són membres de si mateixos. Un exemple descrit és el conjunt que consta d'"idees abstractes", que és membre de si mateix perquè el conjunt és ell mateix una idea abstracta, mentre que un conjunt que consta de "llibres" no és membre de si mateix perquè el conjunt no és un llibre. En la seua paradoxa, Russell preguntava (en carta escrita a Frege el 1902) si el conjunt de conceptes que no formen part de si mateixos formen part de si mateix. Si no forma part de si mateix, pertanyen al tipus de conjunts que sí que formen part de si mateixos.

Anomenem M el "conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos com a membres". Llavors, M és un element de M si i només si M no és un element de M, la qual cosa és absurda.

Un desenvolupament més formal es presenta en la teoria intuïtiva de conjunts.